定理（ \(\mathbb{RP}^2\) 上透视对应）

设交于一点的四根直线 \(l_i\ (i=1,2,3,4)\) （以下称为线束）与直线 \(m,n\) 分别交于点 \(P_{m,i}\ (i=1,2,3,4)\)、\(P_{n,i}\ (i=1,2,3,4)\)，则 \[ (P_{m,1},P_{m,2};P_{m,3},P_{m,4})=(P_{n,1},P_{n,2};P_{n,3},P_{n,4}). \]

证明

我们先证一个引理．

引理

直接用点来指代其对应的向量（这一向量是等价类中任意的一个代表元），则对三种自然参数化都存在的直线上四点 \(P_i\)，有 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(P_1\times P_3)\cdot(P_2\times P_4)}{(P_1\times P_4)\cdot(P_2\times P_3)}. \]

引理的证明

对四个点 \(P_i=(x_i:y_i:z_i)\)，取参数化 \((y_i:z_i)\)，则其有交比 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(y_1z_3-y_3z_1)(y_2z_4-y_4z_2)}{(y_1z_4-y_4z_1)(y_2z_3-y_3z_2)} \] 取参数化 \((x_i:y_i)\)，则其有交比 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(x_1y_3-x_3y_1)(x_2y_4-x_4y_2)}{(x_1y_4-x_4y_1)(x_2y_3-x_3y_2)} \] 取参数化 \((z_i:x_i)\)，则其有交比 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(z_1x_3-z_3x_1)(z_2x_4-z_4x_2)}{(z_1x_4-z_4x_1)(z_2x_3-z_3x_2)} \] 由合比定理 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(y_1z_3-y_3z_1)(y_2z_4-y_4z_2)+(z_1x_3-z_3x_1)(z_2x_4-z_4x_2)+(x_1y_3-x_3y_1)(x_2y_4-x_4y_2)}{(y_1z_4-y_4z_1)(y_2z_3-y_3z_2)+(z_1x_4-z_4x_1)(z_2x_3-z_3x_2)+(x_1y_4-x_4y_1)(x_2y_3-x_3y_2)} \] 直接用点来指代其对应的向量（这一向量是从等价类中任意的一个代表元），这就说明了 \[ (P_1,P_2;P_3,P_4)=\dfrac{(P_1\times P_3)\cdot(P_2\times P_4)}{(P_1\times P_4)\cdot(P_2\times P_3)}.\qquad\square \]

回到原题

不妨设 \(m,n\) 均有三种自然参数化（否则取射影变换将其映为有自然参数化的二直线——由一般位置定理，这一变换总可以取出），四线 \(l_1,l_2,l_3,l_4\) 共点 \(P\)，与直线 \(m\) 交于点列 \(P_i\)，与 \(n\) 交于点列 \(Q_i\)．直接用线来指代其对应的系数向量（同样是等价类中的任一个代表元），则存在非 \(0\) 实数 \(a,b,c,d\) 使 \[ l_1\times l_3= aP,\ l_2\times l_4=bP,\ l_1\times l_4=cP,\ l_2\times l_3=dP. \] 注意到 \[ \begin{aligned} (m\times l_1)\times(m\times l_3)&\xlongequal{\text{BAC-CAB}}m((m\times l_1)\cdot l_3)-l_3((m\times l_1)\cdot m)\\&\xlongequal[m\times l_1\bot m]{\text{混合积的轮换对称性}}m(m\cdot (l_1\times l_3))\\&\xlongequal{l_1\times l_3=aP}a(m\cdot P)m \end{aligned} \] 不妨取 \(P_{m,i}=m\times l_i\)，由引理得 \[ \begin{aligned} (P_{m,1},P_{m,2};P_{m,3},P_{m,4})&=\dfrac{\bigl((m\times l_1)\times(m\times l_3)\bigr)\cdot\bigl((m\times l_2)\times(m\times l_4)\bigr)}{\bigl((m\times l_1)\times(m\times l_4)\bigr)\cdot \bigl((m\times l_2)\times(m\times l_3)\bigr)}\\&=\dfrac{\bigl(a(m\cdot P)\bigr)m\cdot\bigl(b(m\cdot P)\bigr)m}{\bigl(c(m\cdot P)\bigr)m\cdot\bigl(d(m\cdot P)\bigr)m}\\&\xlongequal{\text{共线向量内积}}\dfrac{ab}{cd} \end{aligned} \] 同理 \[ (P_{n,1},P_{n,2};P_{n,3},P_{n,4})=\dfrac{ab}{cd} \] 这就证明了原题．