来自当时复习几何学基础的笔记。几何学基础是USTC的一门大一入门课。

几何学基础 - 个人期中复习纲要

upd 20231125：修复大量错误，绷

复习不完了QAQ

\(\mathcal X\) 空间：几何的公理化

欧式几何

• 体系：23个定义、5个公设（postulate）、5个公理（common notion）
• 不足：过度依赖于几何直觉

第五公设

• 原叙述：若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后必相交于该侧的一点．
• 等价叙述（Playfair公理）：给定直线外一点，至多能过该点做一直线与所给直线平行性
  • 注：存在性可由前四条公设推出（命题28）

希尔伯特（Hilbert）公理

约定：\(\mathcal X\) 为满足希尔伯特公理的空间，其中 \(\mathcal X_3\) 为三维版本，\(\mathcal X_2\) 为二维版本．

体系

两组对象，分别为

• 三个不加定义的本原对象：点、直线、平面
• 涉及这些对象的本原关系：关联、介于、合同

内容

关联公理（8条）

顺序公理（4条）

合同公理（5条）

平行公理

连续公理（2条）

• 阿基米德（Archemedes）公理
• 直线完备公理

示例：垂线的存在唯一性（证明纲要）

先证中点存在，再从中点证垂线唯一、存在．（略）

从 \(\mathcal X\) 到 \(\mathbb E^3\)

向量的定义

方向

两线段 \(AB\)，\(A'B'\) 同向的定义为

• \(A=A'\)：\(B,B'\) 位于 \(A\) 同侧；
• \(A\neq A'\)：\(B,B'\) 位于 \(AA'\) 同侧，且对 \(AA'\) 上一点 \(D\)，\(\angle DAB=\angle DA'B'\)（即同位角）．

\(\mathcal X\) 上的向量

带有方向的线段称为向量．故 \[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\begin{cases} AB\equiv A'B'\\AB\text{ 与 }A'B' \text{ 方向相同 }\end{cases} \]

• 引理： \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\Rightarrow B=B'\)

• 定义：零向量 \(0:=\overrightarrow{AA}\)．

两个基本变换

反射变换

定义

\(\alpha\) 为平面，\(\alpha\) 上的映射 \(R_l:\alpha\to\alpha\)，\(A\mapsto R_l(A)\) 为反射变换 \(\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\) \(\overline{AR_l(A)}\bot l\)，\(A\) 与 \(R_l(A)\) 到 \(l\) 距离相等

• \(l\) 称为反射轴
• \(R_l(A)\) 称为 \(A\) 关于 \(l\) 的反射点

单个点反射的性质

• \(A\in l\Leftrightarrow R_l(A)\in l\)
• \(R_l(A)=B\Leftrightarrow l\) 为 \(AB\) 中垂线

线段反射性质

\(P,Q\) 关于\(l\) 的反射点为 \(P',Q'\)，则

• \(PQ\equiv P'Q'\)；
• 在和直线 \(l\) 垂直的直线 \(PP'\) 上取一点 \(D\)，使 \(P,P'\) 都位于 \(D\) 点的同 一侧，则 \(\angle DPQ\) 与 \(\angle DP'Q'\) 互补．

平移变换

定义

\(\tau:\mathcal X\to \mathcal X\)为平移变换，当且仅当存在向量 \(v\)，对任意 \(P\in X\)，有 \(\overrightarrow{P\tau(P)}=v\)．

• \(v\) 称为平移向量．
• 等价命题：\(\tau:\mathcal X\to \mathcal X\)为平移变换，当且仅当对任意 \(P,Q\in X\)，有\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{\tau(P)\tau(Q)}\)．

平移变换的性质

• 定理（反射变换与平移变换）：\(\alpha_1,\alpha_2\) 为 \(\mathcal X_3\) 上两个平行平面或 \(\mathcal X_2\) 上两个平行直线，则 \(R_{\alpha_1}\circ R_{\alpha_2}\) 为平移变换．
• 定理（平移变换由两点唯一确定）：\(P,Q\in\mathcal X\)，则存在唯一的平移变换 \(\tau\) 使 \(Q=\tau(P)\)．
• 定理：平移变换构成 Abel 群．

\(\mathcal X\) 上的向量空间

记 \(\mathcal V\) 为 \(\mathcal X\) 上的向量集合，\(\mathcal T\) 为 \(\mathcal X\) 上的平移变换集合．

向量的加法群

• 定理：定义映射 \(\Phi:\mathcal{T}\to\mathcal{V}\)，使：\(\Phi(\mathrm{Id})=0\)，\(\Phi(r)=\overrightarrow{AB}\Rightarrow\Phi(r^{-1})=\overrightarrow{BA}\)，则 \(\Phi\) 为一双射．

• 定义（向量加法）：\(+:\mathcal V^2\to\mathcal V, (u,v)\mapsto\Phi^{-1}(\Phi(u)\circ \Phi(v))\)

  由此可验 证\((\mathcal V,+)\) 构成群．

• 定理（向量加法的三角形法则）

• 则 \(\Phi: (\mathcal T,\circ)\cong(\mathcal V,+)\) 构成群同构．

向量的数乘

定义

\(\lambda\in \mathbb R\)，\(u\in \mathcal V\)，定义 \(\lambda u\in \mathcal V\) 为

• \(0\)，若\(\lambda=0\)；

• 和向量 \(u\) 有相同方向且长度为 \(u\) 的 \(\lambda\) 倍的向量，若 \(\lambda>0\)；

  注意：我们这里没有定义向量长度，因为我们没有定义 \(\mathcal X\) 上的向量长度．我们只用到了 \(\mathcal X\) 上线段长度比值的定义．

• \((-\lambda)(-u)\)，若\(\lambda<0\)．

性质

• 乘法相容性（数乘结合律）：\(\lambda,\mu\in\mathbb R\)，\(v\in\mathcal V\)，则 \(\lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v\)
• 数乘单位元：\(v\in\mathcal V\)，则\(1v=v\)．
• 第一分配律：关于数的加法，分配律成立．
• 第二分配律：关于向量的加法，分配律成立．

向量空间

基于向量集合 \(V\)，赋予加法和数乘的运算系统．其中加法和运算满足：

• \((V,+)\) 构成 Abel 群；
• 数乘满足乘法相容性、数乘单位元存在性、第一分配律和第二分配律．

由定义可知：\(\mathcal V\) 与其上的加法、数乘构成向量空间．

\(\mathcal V\) 上的内积结构

\(\mathcal V\) 上的范数结构

向量的长度

固定一个单位长度，则可赋予每个向量一个长度．得到向量长度函数 \(|\cdot |:\mathcal V\to\mathbb R,\ v\mapsto|v|\)．

向量长度的性质

• 正定性：\(\forall v\in\mathcal V\)，\(|v|\geqslant 0\)，当且仅当 \(v=0\) 时为 \(0\)．
• 正齐次性：\(\forall \lambda\in\mathbb R\)，\(v\in\mathcal V\)，有\(|\lambda v|=|\lambda||v|\)．
• 三角不等式：\(\forall u,v\in\mathbb V\)，有\(|u+v|\leqslant|u|+|v|\)

范数的定义

满足向量长度性质的映射 \(\|\cdot\|:V\to \mathbb F\) 称为一个范数，这里 \(V\) 是定义在数域 \(\mathbb F\) 上的向量空间．

\(\mathcal V\) 上的内积结构

范数的极化

\(f(u,v)=\dfrac{1}{2}(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2)\) 称为范数 \(|\cdot|\) 的极化．

\(\mathcal V\) 上范数极化的性质

• 正定性：\(f(v,v)\geqslant 0\)，当且仅当 \(v=0\) 时取等．

  事实上，在 \(\mathcal V\) 上有 \(f(v,v)=|v|^2\)．

• 对称性：\(f(u,v)=f(v,u)\)．

• 双线性性：\(f(u_1+u_2,v)=f(u_1,v)+f(u_2,v)\)，\(f(\lambda u,v)=\lambda f(u,v)\)．（另一位置同理）

内积的定义

向量空间 \(V\) 上的运算：\(\cdot:V^2\to \mathbb F\)，满足正定性、对称性和双线性性，则称 \(\cdot\) 为一个内积．

由上知：极化为\(\mathcal V\)上的一个内积，记作 \(u\cdot v\)，\((u,v)\) 或 \(<u,v>\)．

内积诱导范数

• \(\cdot\) 为向量空间 \(V\) 上内积 ，则 \(|u|=\sqrt{u\cdot u}\) 为 \(V\) 上的一个范数．
• 对 \(|v|\) 上的范数，存在内积诱导其的充要条件为该范数满足平行四边形法则，即\(|u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2\).

余弦定理

\[ u\cdot v=|u||v|\cos\theta \]

欧氏空间

单位正交基与坐标映射

\(\mathcal V\) 上的单位正交基

两两正交的三个单位向量．

基于单位正交基的坐标映射函数 \(c(v)\)

设单位正交基 \(\{i,j,k\}\) 取定，则有定理：\(\forall v\in\mathcal V\)， \[ v=(v\cdot i)i+(v\cdot j)j+(v\cdot k)k \] 且映射：\(c:\mathcal V\to\mathbb R^3\)，\(v\mapsto (v\cdot i,v\cdot j,v\cdot k)\) 为双射．对 \(v\)，称 \(c(v)\) 为其坐标表示．

\(\mathbb R^3\) 上的内积空间与 \(\mathbb E^3\) 的建立

\(\mathbb R^n\) 上的内积空间

将 \(\mathbb R^n\) 中的每个元素看成数域 \(\mathbb R\) 上的向量，定义 \(\mathbb R^n\) 上的向量加法、向量数乘、内积为

• \((x_1,x_2,\cdots,x_n)+(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)\)
• \(\lambda (x_1,x_2,\cdots,x_n)=(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots,\lambda x_n)\)
• \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\cdot (y_1,y_2,\cdots,y_n)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots x_ny_n\)

\(c:\mathcal V\cong\mathbb R^3\)

可以验证如下结论：

• \(c(c^{-1}(x,y,z))+c(c^{-1}(x',y',z'))=(x+x',y+y',z+z')\)
• \(c(\lambda c^{-1}(x,y,z))=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\)
• \(c^{-1}(x,y,z)\cdot c^{-1}(x',y',z')=xx'+yy'+zz'\)

这说明 \(c\) 意义下 \(\mathcal V\) 与 \(\mathbb R^3\) 同构．

欧式空间 \(\mathbb E^n\) 的定义

对定义了内积结构的 \(\mathbb R^n\)，我们在其上定义 \(n\) 维欧氏空间，记作 \(\mathbb E^n\)．\(\mathbb E^n\) 除了内积结构，其上还可定义其它结构．

\(\mathbb E^3\) 上的外积结构

右手螺旋法则、右手系

（略）

外积的定义

\(\times:\mathbb{E}^3\times\mathbb E^{3}\to \mathbb E^3\) 为 \(\mathbb E^3\) 上的外积，满足如下条件：

• \(|u\times v|\) 等于以 \(u,v\) 为边的平行四边形面积；
• \(u\times v\) 与 \(u,v\) 平面垂直，且 \((u,v,u\times v)\) 满足右手螺旋法则．

外积的性质

• 反对称性：\(u\times v+v\times u=0\).
• 双线性性：分配律成立、数乘线性性成立．

注：由于反对称性，“\(u\times v\times w\) ” 无意义，必须指定运算顺序．

外积恒等式

拉格朗日 （Lagrange） 恒等式

\[ |u\times v|^2=|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2 \]

• 证明思路：依定义直接计算．

BAC-CAB 恒等式

\[ a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b) \]

• 证明思路（习题16）：
  • 几何法：先证 \(b\parallel c\) 时成立，再证 \(b\bot c\) 且均为单位向量时成立，最后证明原题．
  • 代数法：直接计算．
• 与Jacobi恒等式等价．（习题17）

雅可比（Jacobi）恒等式

\[ a\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)=0 \]

• 证明思路：用 BAC-CAB恒等式展开．
• 与BAC-CAB恒等式等价．（习题17）

李代数（Lie Algebra）结构

向量空间 \(V\) 上的乘法\(\times:V\times V\to V\)满足反对称性、双线性性、Jacobi恒等式，则称之构成一个李代数结构．因此 \(\mathbb E^3\) 上外积构成一个李代数结构．

外积的坐标公式

取定右手系 \((O;i,j,k)\)，由上可以导出 \[ (x_1,y_1,z_1)\times (x_2,y_2,z_2)=\left(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2\right) \] 可记作 \[ (x_1,y_1,z_1)\times (x_2,y_2,z_2)=\left|\begin{matrix}i&j&k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{matrix}\right| \]

混合积与三阶行列式

定义

向量 \(u,v,w\) 张成的平行六面体（定向）体积为（由体积公式可知） \[ V=|u\times v|||w|\cos\theta|=|(u\times v)\cdot w| \] 称 \(V(u,v,w)=(u\times v)\cdot w\) 为向量 \(u,v,w\) 的混合积．

混合积的行列式表示

设向量 \(v_i=(x_i,y_i,z_i)\)，则 \[ (u\times v)\cdot w=\left|\begin{matrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{matrix}\right|. \]

三阶行列式的性质

• 归一化：\(\det I=1\).
• 反交换性：\(\det (u,v,w)=-\det(v,u,w)=-\det(u,w,v)=-\det(w,v,u)\)．
• 三重线性性：\(\det (\lambda u+\mu v,a,b)=\lambda\det(u,a,b)+\mu\det(v,a,b)\)，对另两个位置同理．

在 \(\mathbb E^3\) 中研究球面几何

只研究 \(S^2\) 上的情形．

球面几何中的基本图形

• 测地线：球面上的大圆（过球心的平面与球面的交线）．
  • 性质：球面上两点距离最短的连线为测地线．
• 测地线的夹角：球面上两条测地线所在平面的二面角．
  • 性质：等于两个大圆在球面上该交点处的切线夹角．
• 球面多边形：球面上多条测地线段（一般取劣弧）所围成的区域．一般指小于半球的区域．
  • 球面二角形（球面新月形）：球面多边形中边数最少者，由两个测地线围成．

球面几何中的多边形面积

\(S^2\)

\(S^2\) 自身的面积为 \(4\pi\)．

球面二角形

设球面二角形中两条测地线段的夹角为 \(\theta\)，则该球面二角形的面积为 \(2\theta\)．

• 证明：先对有理数分割情况证明，再通过分析学手段证明一般实数情况．

球面三角形：吉拉尔（Girard）定理

球面三角形 \(ABC\) 的面积为 \(\angle A+\angle B+\angle C-\pi\)．

• 证明思路：取出各点对径点，对\(\triangle ABC\)和\(\triangle A'BC\)拼在一起得到的球面二角形球面积，同理对另外几对三角形球面积，最后运用球面面积为\(4\pi\)、对径三角形面积相等，解方程即证．

任意球面多边形

设球面 \(n\) 边形的角为 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)，则其面积为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i-(n-2)\pi\)．

• 证明思路：归纳法．

高斯-博内-陈（Gauss-Bonnel-Chern）定理

以上几个结论的超级升级版．你不会以为我要写这个吧？

球面正余弦定理

约定：\(a=\angle BOC, b=\angle COA,c=\angle AOB,A=\angle A,B=\angle B,C=\angle C\)．

准备工作：基本的向量乘法结论

\[ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\cos c,\quad|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=\sin c \]

\[ \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\cos a,\quad|\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}|=\sin a \]

\[ \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=\cos b,\quad|\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OA}|=\sin b \]

准备工作：对偶

称 \(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\)、\(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}\)、\(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OA}\) 方向上的单位向量 \(\overrightarrow{OC'}\)、\(\overrightarrow{OA'}\)、\(\overrightarrow{OB'}\) 为对偶向量，球面上三点 \(A'B'C'\) 构成的三角形为\(\triangle ABC\)的对偶三角形．记其三边为 \(a',b',c'\)，三个角为\(A',B',C'\)．

• 定理：若\(\triangle ABC\) 的对偶为 \(\triangle A'B'C'\)，则 \(\triangle A'B'C'\) 的对偶为 \(\triangle ABC\)．
• 定理：\(a'+A=b'+B=c'+C=A'+a=B'+b=C'+c=\pi\)．

余弦定理 · 第一形式

\[ \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A. \]

另两式轮换对称可知．证明如下： \[ \begin{aligned} (\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC})&\xlongequal{\text{混合积轮换对称性}}\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OC}\times(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}))\\&\xlongequal{\text{BAC-CAB}}\overrightarrow{OA}\cdot((\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow OA-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB})\\&\xlongequal{\overrightarrow{OA}^2=1}\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}). \end{aligned} \] 而\(LHS=\sin b\sin c\cos A\)，\(RHS=\cos a-\cos b\cos c\)，即证．

余弦定理 · 第二形式（对偶形式）

\[ \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a. \]

另两式轮换对称可知．对对偶三角形运用第一形式、再转回来可知．

正弦定理 · 第一形式

\[ \sin c\sin b\sin A=|\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})|=|V(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})|. \]

另两式由对称可知．证明如下： \[ \begin{aligned} (\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\times(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC})&\xlongequal[(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OA}=0]{\text{BAC-CAB}}((\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA}\\&\xlongequal{\text{混合积轮换对称性}}(\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}))\overrightarrow{OA} \end{aligned} \] 两边同取长度即得．

正弦定理 · 第二形式

\[ \dfrac{\sin A}{\sin a}=\dfrac{\sin B}{\sin b}=\dfrac{\sin C}{\sin c}=\dfrac{|V(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})|}{\sin a\sin b\sin c}. \]

由第一形式两端同除 \(\sin a\sin b\sin c\) 即证．

推论：全等判据

由余弦定理可知：SSS、AAA、SAS、ASA为球面三角形的全等判据．

但是AAS不是！

在球面上建立传统公理休系

定义

• \(S^2\) 上的点为 \(S\)-点，大圆为 \(S-\)直线．
• 介于：设 \(A,B,C\) 为球面上三点，若存在包含 \(A,B,C\) 但严格小于半圆的大圆弧，使得在该圆弧上 \(B\) 按通常意义下介于 \(AC\) 之间，则称 \(B\) 介于 \(AC\) 之间．
  • 对径点不讨论介于．
• \(S-\)线段：介于二端点之间点的全体．
• 合同：（略）

与希尔伯特公理的异同

• 关联公理仅 I.2 不成立．（有两个公共点）
• 顺序公理仅 II.2 不成立．（对径点）
• 合同公理全部成立．
• 平行公理、完备公理无法谈论．

\(\mathbb E^3\cong \mathcal X\)

直接计算验证每条公理可证，这里略过．

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图形、方程与刚体变换

平面与直线的方程

平面参数方程

基本形式

\[ \begin{cases} x=a_1+tu_1+sv_1\\y=a_2+tu_2+sv_2\\z=a_3+tu_3+sv_3 \end{cases} \]

向量形式

\[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda u+\mu v \]

平面一般方程

基本形式

\[ Ax+By+Cz+D=0 \]

体积形式

\[ (x-a_1,y-a_2,z-a_3)\cdot(u\times v)=0 \]

若给定 \(u=(x_u,y_u,z_u)\)，\(v=(x_v,y_v,z_v)\)，也可记作

行列式形式

\[ \left|\begin{matrix}x-a_1&y-a_2&z-a_3\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{matrix}\right|=0 \]

内积形式

\[ n\cdot\overrightarrow{OP}+D=0 \]

几何意义

• \(n=(A,B,C)\) 为平面的法向量．
• 两个平面平行（或相同）等价于法向量共线（或参数成比例）．

直线参数方程

基本形式

\[ \begin{cases} x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\\z=a_3+tu_3 \end{cases} \]

向量形式

\[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda v \]

连等形式

\[ \dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}=\dfrac{z-a_3}{u_3} \]

直线一般方程

基本形式

\[ \begin{cases} Ax+By+Cz+D=0\\ Ex+Fy+Gz+H=0 \end{cases} \]

既约形式

\[ \begin{cases} x+Ay+D=0\\By+z+D'=0 \end{cases} \]

或以其它变量为中心变量轮换．

几何意义

• “两平面之交”
• 设对应的二平面法向量为 \(n_1,n_2\)，则 \(n_1\times n_2\) 为直线的一个方向向量．

直线与平面的计算

平面

• 二平面 \((A_1,B_1,C_1,D_1)\) 与 \((A_2,B_2,C_2,D_2)\) 夹角为 \[ \arccos\dfrac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \] 证明方法：高考．

• 点 \((x_0,y_0,z_0)\) 到平面 \((A,B,C,D)\) 的距离为 \[ \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \] 证明方法：取平面上一点与已知点连线，求其在平面法向量方向上的投影向量．

• 二平面\((A,B,C,D)\) 与 \((A,B,C,D')\) （平行平面）的距离为 \[ \dfrac{|D-D'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

• 投影向量的求法：作分解 \[ v=v_\parallel+v_n \] \(v_n\) 为 \(v\) 在法向量上的投影向量， \(v_\parallel\) 为平面上的投影向量．

直线

• 若直线方向向量为 \(u,v\)，则 \(u\times v=0\) 当且仅当二直线平行或相同
• 若\(P\) 为直线上一点，\(A\) 为直线外一点，\(u\) 为直线方向向量，则\(A\)到直线距离为 \(\dfrac{|u\times\overrightarrow{AP}|}{|u|}\).
• 设异面直线\(l_1,l_2\)，\(A\in l_1,B\in l_2\)，则二直线距离为 \(\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot(u\times v)}{|u\times v|}\)
• 二直线夹角 \(\arccos\dfrac{|u\cdot v|}{|u||v|}\)
• 直线方向 \(u\)，平面法向量 \(n\)，则直线与平面夹角 \(\arcsin\dfrac{|u\cdot n|}{|u||n|}\)

一般图形的方程

用参数方程或一般方程表达．

参数方程

方程为变化规则．

• 必有空间维数条方程．
• 参数个数等于研究对象的维数．

曲线的参数方程

\[ \begin{cases} x=f(t)\\y=g(t)\\z=h(t) \end{cases} \]

曲面的参数方程

\[ \begin{cases} x=f(t,s)\\y=g(t,s)\\z=h(t,s) \end{cases} \]

一般方程

特定情况下，可以将参数消去，得到隐函数方程．

• 有效方程的条数为图形的余维数．
• 余维数与所研究对象的维数之和为空间维数．

曲线的一般方程

\[ \begin{cases} F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{cases} \]

曲面的一般方程

\[ F(x,y,z)=0 \]

注：满足条件的不一定是曲面，如方程\((x+y+z)^2+(x-y+z)^2=0\)给出的为一条直线．

二次曲面的一般方程

\[ F(x,y,z):=A_1x^2+A_2y^2+A_3z^2+2B_1xy+2B_2yz+2B_3zx+C_1x+C_2y+C_3z+D=0 \]

几何变换

设 \(X\) 为具有某种几何结构的空间，其上的双射 \(\phi:X\to X\) 为一个几何变换．研究几何变换，主要研究其不变量．

具有平移不变性的几何变换

若 \(\mathbb E^3\) 上的几何变换 \(\phi\) 满足 \[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow \overrightarrow{\phi(A)\phi(B)}=\overrightarrow{\phi(C)\phi(D)} \] 则称 \(\phi\) 具有平移不变性．

几何变换诱导的向量变换

对于具有平移不变性的几何变换，可以诱导一个在向量的映射 \[ \tilde{\phi}(\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{\phi(A)\phi(B)} \] 这样的两个映射是一一对应的．

等距变换与刚体变换

记 \(d_E(P,Q)=|PQ|\) 为欧氏距离函数，若几何变换\(\phi\)满足 \[ d_E(\phi(P),\phi(Q))=d_E(P,Q) \] 则 \(\phi\) 为一个等距变换．

对等距变换 \(\phi\) ，若其把右手系映为右手系，则称其为一个刚体变换．

刚体变换群\(<\)等距变换群\(<\)变换群

等距变换、刚体变换构成（非Abel）群．且刚体变换群是等距变换群的子群，等距变换群是变换群的子群．

等距变换的不变性

设 \(\phi\) 为一个等距变换，则其具有如下不变性：

• 保直线性：共线三点的像仍共线．
• 保序性：若 \(A,B,C\) 顺次排列于直线，则 \(\phi(A),\phi(B),\phi(C)\) 也顺次排列．
• 保角性：任意三点所成的角与其像所成的对应角相等．
• 平移不变性．

由此可知，等距变换 \(\phi\) 可以诱导一个向量变换 \(\tilde\phi\)．

对其诱导的向量变换，有如下不变性：

• 保长度：\(\tilde\phi(u)=u\)．
• 保内积：\(\tilde\phi(u)\cdot\tilde\phi(v)=u\cdot v\)．

常见的等距变换

平移、旋转、反射均为等距变换，特别地

• 平移、旋转为刚体变换；
• 反射为等距变换，但不为刚体变换．

刚体变换是线性变换

\(\phi\) 为刚体变换， 则 \(\tilde\phi(\lambda u+\mu v)=\lambda\tilde\phi(u)+\mu\tilde\phi(v)\)．

刚体变换的代数表达

刚体变换将单位正交基映为单位正交基

设\(\{i,j,k\}\) 为一组单位正交基，则 \(\tilde\phi(\{i,j,k\})=\{f_i,f_j,f_k\}\) 仍构成一组单位正交基．记 \[ f_a=(x_a,y_a,z_a),\quad a\in\{i,j,k\};\quad M=\begin{pmatrix}x_i&x_j&x_k\\y_i&y_j&y_k\\z_i&z_j&z_k\end{pmatrix} \] 则

• \(x_a^2+y_a^2+z_a^2=1\)；
• \(x_ax_b+y_ay_b+z_az_b=0\)，若 \(a\neq b\)；
• \(\det M=1\)．

即：\(M\) 为行列式值为 \(1\) 的正交矩阵．

刚体变换的代数表达

对任意刚体变换\(\phi:\mathbb E^3\to\mathbb E^3\)，则存在向量 \(a\) 及满足如上条件的矩阵 \(M\)，使\(\phi(x)=Mx+a\)．

刚体变换\(=\)旋转\(+\)平移

定理：刚体变换可分解为一个平移和一个旋转的复合．证明思路如下：

• 不妨设 \(\phi(O)=O\)，否则给其复合一个变换：\(T_{-O'}\)，所得的变换仍为刚体变换；
• 引理：若 \(\phi\) 为保持原点不动的刚体变换，则其为旋转变换．证明梗概如下：
  1. 先证明：若 \(\phi\) 保持某条过 \(O\) 的直线 \(l\) 上所有点不动，则 \(\phi\) 是以一个以 \(l\)为轴的旋转变换．
     • 取右手系\((i,j,k)\) 使 \(k\) 为 \(l\) 的方向向量，则 \(k\) 不动；
     • 由 \(\tilde\phi\) 保内积，则 \(\tilde\phi(i),\tilde\phi(j)\) 在垂直于 \(l\) 的平面内；
     • 求出 $(i) $与 \(i\)的夹角 \(\theta\)，验证 \(\tilde\phi(j)\) 与 \(j\) 的夹角为 \(\theta\)，从而确定该变换为旋转．
  2. 再证明：存在过 \(O\) 的直线不动．（存在特征值为 \(1\) 的特征向量）
     • 断言：\(\det (M-I)=0\)．（利用 \(f_i=f_j\times f_k\) 及其轮换，展开证明）
     • 因此 \((x_i-1,y_i,z_i)\)，\((x_j,y_j-1,z_j)\)，\((x_j,y_j,z_j-1)\) 共面．
     • 取其一个法向量 \(n\)，验证 \(\phi(n)=n\)
• 由引理可知得证．

推论：全体保持原点不动的旋转变换构成刚体变换群的一个子群．（特殊正交群\(SO_3\), 非交换）

基于几何变换的图形分类

等价关系与等价类

（我觉得这是代数）

准备工作：仿射变换下不改变曲线次数

零点集

\(F=F(x_1,\cdots,x_n)\) 为 \(n\) 元 \(d\) 次多项式，记 \(F\) 的零点集为 \[ Z_F=\{(x_1,\cdots,x_n)\mid F(x_1,\cdots,x_n)=0\} \]

多项式集

\(X_{n,d}=\{Z_F\mid F\in \mathbb R[x_1,\cdots,x_n],\deg F=d\}\)

仿射变换

\(A\)为\(n\times n\)可逆矩阵，则 \(\phi(x)=Ax+a\) 为仿射变换．

变换下的零点集引理

\(\phi:\mathbb E^n\to\mathbb E^n\) 为仿射变换，则\(\phi(Z_F)=Z_{F\circ \phi^{-1}}\).

• 证明思路：\(\phi(Z_F)=\{\phi(x_1,\cdots,x_n)\mid F(x_1,\cdots,x_n)=0\}=\{(x_1,\cdots,x_n)\mid F\circ \phi^{-1}(x_1,\cdots,x_n)=0\}\)

定理：仿射变换不改变多项式次数

\(\phi:\mathbb E^n\to\mathbb E^n\) 为仿射变换，则\(\deg F=\deg (F\circ \phi)\)．

• 证明思路：显然 \(\deg(F\circ\phi)\leqslant \deg F\)．故\(\deg F=\deg (F\circ \phi\circ \phi^{-1})\leqslant \deg(F\circ\phi)\leqslant \deg F\)．

二次曲线的8种等价类

思想

写出方程，消去 \(xy\) 项系数（这一步用到上面的结论），之后往死里分类讨论．

结论

1. 空集；
2. 椭圆；
3. 独点集；
4. 双曲线；
5. 一对相交直线；
6. 抛物线；
7. 一对平行线；
8. 一条直线．

二次曲面的15种等价类

结论

1. 空集；
2. 基本元素系列：
   • 点
   • 线
   • 面
   • 一对平行平面（\([x^2-a=0],a>0\)）
   • 一对相交平面（\([x^2-ay^2=0],1\geqslant a>0\)）
3. 柱体系列：
   • 抛物柱面（\([x^2-ay=0],a>0\)）
   • 椭圆柱面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}-1=0\right],a\geqslant b>0\)）
   • 双曲柱面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{b}+1=0\right],a,b>0\)）
4. 椭圆锥面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}-z^2=0\right],a\geqslant b>0\)）
5. 椭球面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}-1=0\right],a\geqslant b\geqslant c>0\)）
6. 双曲面系列：
   • 单叶双曲面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}-\dfrac{z^2}{c}-1=0\right], a\geqslant b>0,c>0\)）
   • 双叶双曲面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}-\dfrac{z^2}{c}+1=0\right], a\geqslant b>0,c>0\)）
7. 抛物面系列：
   • 椭圆抛物面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}-z=0\right],a\geqslant b>0\)）
   • 双曲抛物面（\(\left[\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{b}+z=0\right],a,b>0\)）

以上给出的各方程称为对应图形的标准形式．

标准方程记法：

• 1、2系列自己写．
• 3系列就是圆锥曲线标准方程．
• 4系列：平方项全出，无一次项和常数项
• 5、6系列：平方向全出，带常数项，单叶减双叶加
• 7系列：带\(x,y\)二次项、\(z\)一次项，\(y,z\)前系数反号

或

• 椭圆系列加\(y^2\)减低次项，双曲线系列减\(y^2\)加低次项
• 抛物线必出一次项，永远是最后一个
• 平直的东西，变元和常数加在一起不超过三个

判定方法

懒得敲了，直接图片．

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不知道为什么，知乎图床炸了，这里传一份pdf：

【腾讯文档】几何学基础 复习纲要 - 知乎

几何学基础 下半复习纲要

注：

• 本笔记中的 \(\{x\in S:P(x)\}\)及 $ {xSP(x)}$ 均为集合的描述法表示，仅在比号太多时使用后者．
• 出于作者的考量，本笔记中会出现一些作者个人习惯的写法，可能与书上有出入，读者注意．
• 另：有关射影几何的部分，建议参考我的助教 @Kaede 的射影几何学习笔记系列．

几何与变换

埃尔朗根纲领

• 观点：几何是研究对称群上不变量
• 几何的中心问题：给定流形及其中的一个变换群，研究流形中几何形体在这个群的变换下保持不变的性质
• 框架（克莱因）：射影几何

\(\mathbb E^2\)上的几何与变换群

约定概念

• 变换：空间 \(X\) 到自身的双射 \(\phi:X\stackrel{\text{1:1}}{\longrightarrow}X\)
• 线性变换：向量空间上保线性结构不变的变换，即满足 \(\phi(\lambda u+\mu v)=\lambda\phi(u)+\mu\phi(v),\ u,v\in X,\ \lambda,\mu\in\mathbb R\) 的变换
  • 注：旋转轴过原点的变换为线性变换，一般的平移变换不是线性变换．
• 变换群：由变换构成的群（非 Abel，容易验证前三条公理成立）

线性变换的新描述

\(\mathbb R^2\) 上的线性变换往往可以描述为 \[ \phi: v\mapsto Av+u \] 这里 \(A\) 为 \(2\times 2\) 矩阵，\(v,u\) 为二维列向量，但这一记法并不好用．注意到对二维列向量 \(u, v\)， \[ \pmatrix{v\\1}_{1\times 3}\mapsto \pmatrix{A&u\\0&1}_{1\times 3}\pmatrix{v\\1}_{3\times 3}=\pmatrix{v'\\1}_{1\times 3} \] 正好满足 \(v'=Av+u\)，这就给出了一种「用三维矩阵描述二维变换」的新描述方式．

刚体变换的新描述

回顾：过去的描述

在 \(X=\mathbb E^2\) 上，可以定义刚体变换群 \[ G_{刚体}=\{\phi:\mathbb E^2\to\mathbb E^2\mid\phi 是一个刚体变换\} \] 回忆：任一刚体变换 \(\phi\) 可唯一表示为 \[ \phi_{A,u}v=Av+u,\quad A=\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}, \theta\in\mathbb R;\; u=\pmatrix{x_0\\y_0} \]

线性变换群下的观点

• 特殊欧氏群：\(SE(2):=\left\{\pmatrix{A&u\\0&1}\in GL(3): A\in SO(2), u\in\mathbb E^2\right\}\)
• 定理：存在自然同构 \(G_{刚体}\cong SE(2)\)，自然同构\(f: \phi_{A,u}\mapsto\pmatrix{A&u\\0&1}_{3\times 3}\)．
  • 先验证 \(f\) 为群同态，再由「过去描述」中唯一表示得到双射

等距变换的新描述

类似刚体变换，引入欧氏群： \(E(2):=\left\{\pmatrix{A&u\\0&1}\in GL(3): A\in O(2), u\in\mathbb E^2\right\}\)

性质：

• 存在自然同构 \(G_{等距}\cong E(2)\)
• \(SE(2)\lneq E(2)\)，\([E(2):SE(2)]=2\)

旋转变换的新描述

同理可得：\(G_{旋转}\cong SO(2)\)，\(G_{旋转反射}\cong O(2)\)，这里「旋转反射」群由保持原点不动的等距变换组成．

• 想法：\(SO(2)\) 中的元素可不可以用一个奇异视角 「\(\pmatrix{A&0\\0&1}_{3\times 3}\)」来看呢？

  以下引入一个记号：\(ROT(2)=\left\{\pmatrix{A&0\\0&1}: A\in SO(2)\right\}\)． 读者应注意该符号不是书中标准记号，考试勿写．

  借助以上引入的记号，可以说明：\(G_{旋转}\cong ROT(2)\)．且 \(ROT(2)\lneq SE(2)\lneq E(2)\)．

相似变换的新描述

回顾：过去的描述

相似变换可唯一表示为 \[ \phi_{\lambda,A,u}v=\lambda Av+u,\quad A\in O(2),\ u\in\mathbb E^2, \lambda\in\mathbb R_{>0} \]

新描述

• 线性共形群：\(CO(2)=\{\lambda A:\lambda\in\mathbb R_{>0},\; A\in O(2)\}\)
• 相似变换群的线性变换群：\[SIM(2)=\left\{\pmatrix{A&u\\0&1}: A\in CO(2),u\in\mathbb E^2\right\}\]
• 同理：\(G_{相似}\cong SIM(2)\)．

相似变换的不变量

• 保角
• 保距离比

仿射变换的几何

引入

• \(\mathbb E^2\)上最大的线性变换群为一般线性群\(GL(2)\)，对应的变换群为 \(AFF(2)=\left\{\pmatrix{A&u\\0&1}: A\in GL(2), u\in\mathbb E^2\right\}\)

• 存在线性变换群 \(G_{仿射}\cong AFF(2)\)，这样的变换称为仿射变换：\(\phi_{A,u}v=Av+u\)．

仿射变换的不变量

• 保平行：\(PQ\parallel RS\Rightarrow\phi(P)\phi(Q)\parallel\phi(R)\phi(S)\)；
• 保简比（平行线段长度比）：若\(PQ\parallel RS\)或四点共线，则\(\dfrac{|PQ|}{|RS|}=\dfrac{|\phi(P)\phi(Q)|}{|\phi(R)\phi(S)|}\)；
• 保面积比：存在常数 \(C\) 使 \(S_{\triangle PQR}=CS_{\triangle\phi(P)\phi(Q)\phi(R)}\)．

证明方法如下：

• 由\(PQ\parallel RS\)，得\(\overrightarrow{PQ}=\lambda\overrightarrow{RS}\)，用平移不变性直接计算变换后发现 \(\lambda\) 不变．
• 通过行列式性质计算面积．

总览

\[ \begin{matrix} G_{旋转}&\cong&ROT(2)\\ \wedge&&\wedge\\ G_{刚体}&\cong&SE(2)\\ \wedge&&\wedge\\ G_{等距}&\cong&E(2)\\ \wedge&&\wedge\\ G_{相似}&\cong&SIM(2)\\ \wedge&&\wedge\\ G_{仿射}&\cong&AFF(2)\\ \end{matrix} \]

变换类型	对称群	不变量
旋转变换	\(ROT(2)\)（书中为 \(SO(2)\)）	距离、定向、到原点距离
刚体变换	\(SE(2)\)	距离、定向
等距变换	\(E(2)\)	距离
相似变换	\(SIM(2)\)	角度、长度比
仿射变换	\(AFF(2)\)	平行性、简比、面积比
TO	BE	CONTINUED

---

射影几何与射影变换

射影空间

定义

• \(\mathbb R^n\backslash\{0\}\) 上的等价关系：\(A\sim_n B\stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\overrightarrow{OA}\parallel\overrightarrow{OB}\) （一般记作 \(\sim\) 即可）．

• \(n\) 维射影空间：\(\mathbb{RP}^n:=\bigl(\mathbb R^{n+1}\backslash\{0\}\bigr)/\sim_{n+1}\)．

• 齐次坐标：\(n\) 维射影空间上的点记作 \((x_1:x_2:\cdots:x_n):=[(x_1,x_2,\cdots,x_n)]\)，\([\cdot]\)表示商集的等价类．

• \(\mathbb R^n\) 到 \(\mathbb{RP}^n\) 的自然映射：\(\varphi:\mathbb R^n\to \mathbb{RP}^n,\; (x_1,x_2,\cdots,x_n)\mapsto (x_1:x_2:\cdots:x_n:1)\)．

  • 该映射为单射，但不为满射．

• 无穷远空间：空间 \(\mathbb{RP}^n\backslash\varphi(\mathbb R^n)\) ．

  • 容易验证：无穷远空间是一个维度低一维的射影空间．

• 无穷远点：无穷远空间中的点．

性质

• \(\mathbb{RP}^n\) 的分解：记

  \(\mathcal R_m:=\{(\underbrace{x_1:x_2:\cdots:x_m}_{m项}:{\color{blue}1}:\underbrace{0:0:\cdots:0}_{n-m-1项})\in\mathbb{RP}_n\mid (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in\mathbb R^m\}\subset \mathbb{RP}^n\)

  \(\mathcal{RP_m}:=\{(\underbrace{x_1:x_2:\cdots:x_m}_{m项}:{\color{red}0}:\underbrace{0:0:\cdots:0}_{n-m-1项})\in\mathbb{RP_n}\mid (x_1:x_2:\cdots:x_m)\in\mathbb{RP}^m\}\subset \mathbb{RP}^n\)

  则我们有

  1. \(\displaystyle\mathbb{RP}^n=\mathcal{RP}_{n}=\mathcal R_n\sqcup \mathcal{RP}_{n-1}\)；
  2. \(\displaystyle \mathbb{RP}^n=\bigsqcup_{m=0}^n\mathcal R_m\)．

  书中直接使用双线字体，个人认为容易引起误导，故这里换用字体．

• 球面商模型：\(\mathbb{RP}^n\cong S^n/\{\pm 1\}\)．

几何模型

• 投影模型：将过 \(\mathbb R^{n+1}\) 空间中原点的直线 \(l\) 视作一个点．
  • 或递归定义：过原点的直线 \(l\) 与 \(\mathbb{RP}^{n-1}\) 子空间 \(\{x_n=1\}\) 的交点
• 球面商模型：将「圆的每组对径点粘合」形成的空间．

以下非书中标准内容，仅个人学习体会及方便笔记书写使用．

射影空间中的多项式曲面

设 \(\mathcal{\bar{F}}\subset\mathbb R[x_1,\cdots,x_{n+1}]\) 为一族定义在 \(\mathbb R\)上的 \(n+1\) 元齐次多项式，则 \[ \overline X_{\mathcal{\bar F}}:=\{(x_1:x_2:\cdots:x_{n+1})\in\mathbb{RP}^n\mid \forall \bar F\in\mathcal {\bar{F}},\bar F(x_1,\cdots,x_{n+1})=0\} \] 构成 \(\mathbb{RP}^n\) 上的一个多项式曲面．

这里「齐次」的要求是为了保证良定性．

\(\mathbb R^n\)上多项式曲面的坐标齐次化／射影化

\(n\) 元多项式的坐标齐次化

设 \(n\) 元多项式 \(F\in \mathbb R[x_1,\cdots,x_n]\)，映射 \[ \mathscr{Q}: \mathbb R[x_1,\cdots,x_n]\to \mathbb R[x_1,\cdots,x_{n+1}],\quad F(x_1,\cdots,x_n)\mapsto x_{n+1}^{\deg F}F\left(\dfrac{x_1}{x_{n+1}},\cdots,\dfrac{x_n}{x_{n+1}}\right) \] 称为该多项式的坐标齐次化．记\(\bar F(x_1,\cdots,x_{n+1})=x_{n+1}^{\deg F}F\left(\dfrac{x_1}{x_{n+1}},\cdots,\dfrac{x_n}{x_{n+1}}\right)\)，容易验证其为齐次多项式．

\(n\) 维曲面的射影化

设 \(\mathbb R^n\) 上的多项式曲面为 \[ X_{\mathcal F}=\{(x_1,x_2,\cdots,x_{n})\in\mathbb{R}^n: \forall F\in\mathcal {F}\subset\mathbb R[x_1,\cdots,x_n], F(x_1,\cdots,x_{n})=0\} \] 记 \(\bar F=\mathscr{Q}(\mathcal F)\)， \(\overline{X}_{\bar F}\) 称为曲面 \(X_{\mathcal F}\) 的射影化．

射影平面 \(\mathbb{RP}^2\) 上的直线与二次曲线

直线

定义

• 定义：射影平面上的直线定义为平面上的直线的射影化．
  • 即 \(l_{(A,B,C)}:\{(x:y:z)\in\mathbb{RP}^2\mid Ax+By+Cz=0\}\)，这里 \((A,B,C)\in\mathbb R^3\backslash\{0\}\)．
  • 可用向量 \((A,B,C)\) 唯一表示．
  • 对直线 \(l\)，若其射影化的原象 \(\mathscr Q^{-1}(l)\) 存在，则记作 \(l^0\)．
• 良定性： \(u\parallel v \Leftrightarrow l_u=l_v\)．
• 无穷远直线：所有的无穷远点位于直线 \(l_\infty:=\{(x:y:z)\in\mathbb{RP}^2\mid z=0\}=\mathcal R_1\) 上．

性质

• 两点关联唯一一条直线．

  • 包括无穷远点．

• 两线关联唯一一点．

  • 因此，平行概念不存在．
  • 若 \(l_u\cap l_v=\{P\}\)，则 \(P=[u\times v]\)．

• 对偶原理：\(l_{(A,B,C)}\) 与 \((A:B:C)\) 可建立同构．这一点源自于「解方程的性质」．

二次曲线

定义

• 定义：射影平面上的二次曲线定义为平面上二次曲线的射影化．
• \(\mathbb{RP}^2\) 上的方程描述： \(\bar F(x,y,z):=Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Exz+2Fyz\)，\(\overline X_{\{\bar F\}}\) 为 \(\mathbb{RP}^2\) 上的二次曲线．
• 矩阵乘法描述：\(F(x,y,z)=\pmatrix{x&y&z}C\pmatrix{x\\y\\z}\)，其中系数矩阵 \(C=\pmatrix{A&D&E\\D&B&F\\E&F&C}\neq 0\).

性质

椭圆、抛物线、双曲线完成了统一：在射影意义下为同一二次曲线，只是相对于无穷远直线位置不同．

• 椭圆：相离
• 抛物线：相切
• 双曲线：相交

射影变换介绍

定义

\(\forall A\in GL(3,\mathbb R)\)，\(\phi_A: \mathbb{RP}^2\to\mathbb{RP}^2,\ [v]\mapsto [Av]\) 给出了一个射影变换，且 \(\phi_A=\phi_B\)当且仅当\(A=\lambda B\)（\(\lambda\neq 0\)）．

• 良定性验证：\(\phi_A(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda\phi_A(x,y,z)\)，两边同取 \([\cdot]\) 即得．

• 射影变换群：\(G_{射影}=\{\phi_A: A\in GL(3,\mathbb R)\}\)．

• 保共线性（线性变换共性）

• 容易验证：\(\phi_B\circ\phi_A=\phi_{BA}\)．

与仿射变换的关系

• \(G_{仿射}\lneq G_{射影}\)．

• 仿射变换是保无穷远直线不动的变换

  • 但不保证每个无穷远点不动：要求平行线方向不变
  • 每个仿射变换对应的射影变换：\(\pmatrix{x\\y\\z}\mapsto A\pmatrix{x\\y\\z}\)（\(\mathbb R^2\)上的写法中我们设定了 \(z=1\)，这下知道原因了吧）
  • 事实上，\(G_{仿射}\cong G_\infty\)：保无穷远直线的射影变换子群．

  一般地，\(X\) 为一集合，对 \(X\) 上的一个变换群 \(G\) 及 \(X\) 的一个子集族 \(\mathcal Y\)， \(G_\mathcal Y(X)=\{f\in G: f(Y)=Y, \forall Y\in\mathcal Y\}< G\)．

射影变换的一般位置定理

\(\mathbb{RP}^2\)上的一般位置定义

若四点中任意三点不共线，则称其为一般位置的点；若四线中任意三线不共点，则称其为一般位置的直线．

\(\mathbb{RP}^2\)上的一般位置定理

设 \(P_i\ (i=1,2,3,4)\) 为 \(\mathbb{RP}^2\) 上位于一般位置的四点，则存在唯一的射影变换 \(\phi\) 使 \[ \phi(P_1)=(1:0:0),\ \phi(P_2)=(0:1:0),\ \phi(P_3)=(0:0:1),\ \phi(P_4)=(1:1:1) \]

证明

存在性．事实上，设 \(P_i=[v_i]\)，并记 \(P=\mathcal M(v_1^T,v_2^T,v_3^T)\)（以 \(v_1,v_2,v_3\) 的列向量形式为列向量的矩阵），记行向量 \(u=(P^{-1}v_4^T)^T\)，\(Q=\operatorname{diag} u\)（以行向量 \(u\) 的各位置元素组成的对角矩阵），则 \(\phi: v\mapsto Q^{-1}P^{-1}v\) 满足要求．这是因为 \[ Q^{-1}P^{-1}\mathcal{M}(v_1^T,v_2^T,v_3^T,v_4^T)=\pmatrix{x^{-1}&0&0&1\\0&y^{-1}&0&1\\0&0&z^{-1}&1} \] 这里 \(u=(x,y,z)\)．

唯一性．暴力计算 \(\phi_1\phi_2^{-1}\)的变换矩阵．

注

以上给出了该变换的计算方法：

• 先将前三个点的坐标排成 \(3\times 3\) 矩阵 \(P\) 的每一列；
• 再计算 \(P^{-1}\)；
• 然后将第四个点的坐标排成列向量 \(v\)，计算 \(P^{-1}v\)，得到列向量 \(u\)；
• 设 \(u=(x,y,z)\)，定义对角矩阵 \(Q=\operatorname{diag}(x,y,z)\)；
• 最后，\(\phi:v\mapsto Q^{-1}P^{-1}v\) 即为所求的变换．

除此之外，这一命题的对偶：直线版一般位置定理也成立．对该命题作对偶即可得到．

推论

对于 \(\mathbb{RP}^2\) 中任意两组处于一般位置的点 \(P_i\)、\(Q_i\)，存在唯一的射影变换 \(\phi\) 使 \(\phi(A_i)=B_i\)．

二次曲线的射影分类

在射影变换诱导的等价关系下，二次曲线有且仅有以下几种：

1. 空集；
2. 点；
3. 直线；
4. 两条相交直线；
5. 非退化二次曲线．

交比：射影变换的不变量

\(\mathbb{RP}^1\)上的分式线性变换

设 \(\phi: (x:y)\mapsto (ax+by:cx+dy)\) 为 \(\mathbb{RP}^1\) 上的射影变换．若\(y\neq 0\)，\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{d}{c}\neq 0\)，记\(t=\dfrac{x}{y}\)，则 \(\phi(t:1)=\left(\dfrac{at+b}{ct+d}:1\right)\)．事实上把 \(t\in\mathbb R\) 映射到分式 \(\dfrac{at+b}{ct+d}\)．

• 定义：\(\phi(t)=\dfrac{at+b}{ct+d}\) 称为分式线性变换．

• 性质：每一个 \(\mathbb{RP}^1\)上的射影变换一一对应于一个分式线性变换．

  • 对分式线性变换延拓到射影变换的方法：若\(c\neq0\)，将 \(t=-d/c\) 映到无穷远点；若 \(c=0\)，该变换正是仿射变换．

交比

对互不相同的四个「射影实数」 \(t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb R\cup\{\infty\}\)，定义交比为\[(t_1,t_2;t_3,t_4):=\dfrac{(t_3-t_1)(t_4-t_2)}{(t_4-t_1)(t_3-t_2)}\]．

注：本课程教科书中官方的交比记号是\(\color{red}R(t_1,t_2,t_3,t_4)\)，上面给的写法是我个人高中搞竞赛的时候习惯的写法，这里出于习惯就直接写了．

题外话：记得之前在一个回答中说过，交比可以是\([a,b;c,d]\)，可以是\((a,b;c,d)\)，可以是\((a,b,c,d)\)，可以是\([a,b,c,d]\)，可以是\((abcd)\)，可以是\([abcd]\)（这个常有歧义而不常用），我以为已经够多了，结果这本书又冒出来一个新记号？

对 \(\mathbb{RP}^1\) 上的四点 \(A,B,C,D\)，记其坐标为\((x_p:1)\)，则其交比为\((A,B;C,D)=\dfrac{(x_c-x_a)(x_d-x_b)}{(x_d-x_a)(x_c-x_b)}\)．一般的公式请自行通分．

射影变换保交比

一个\(\mathbb{RP}^1\)上的变换保交比当且仅当其为射影变换．

定理：保交比映射三点不动即恒等

若 \(\mathbb{RP}^1\) 上保交比的变换有三个不动点，则其为恒等变换．

证明．\(\forall P\)，\((P,A;B,C)=(\phi(P),\phi(A);\phi(B),\phi(C))=(\phi(P),A;B,C)\).

射影参数化：推广到 \(\mathbb{RP}^2\) 上

定义

称 \(\varphi:\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^2,\quad (u:v)\mapsto(x(u,v):y(u,v):z(u,v))\)——\(x,y,z\) 为关于\(u,v\) 的二元齐一次多项式——为直线 \(ax+by+cz=0\)的一个射影参数化或射影坐标映射，若\(\forall v\in\mathbb{RP}^1\)，有\(ax(v)+by(v)+cz(v)=0\)．

• 理解：想「参数方程」．
• 注：事实上，\(\varphi\) 为一个双射．
• 同一条射影直线的参数化不唯一．

性质

若\(\phi_1,\phi_2\)是射影直线 \(l\) 的两个射影参数化，则 \(\phi_2\circ\phi_1^{-1}\) 是\(\mathbb{RP}^1\) 上的一个射影变换．

证明思路．不妨设 \(l:x+by+cz=0\)， 找一个特定的参数化\(\phi_3=(y:z)\)中转．

直线上的交比

由上述性质可知：对射影直线 \(l\subset\mathbb{RP}^2\) 上相异的四点 \(A,B,C,D\)，以及 \(l\) 的任意射影参数化 \(\phi\)，\((\phi^{-1}(A),\phi^{-1}(B);\phi^{-1}(C),\phi^{-1}(D))\) 不依赖于 \(\phi\) 的选取．定义其为这四点（构成的点列）的交比\((A,B;C,D)\)．

\(\mathbb{RP}^2\) 上射影变换的不变量

定义：完全四边形

四根射影直线及其两两相交交成的六个点构成的图形．

定理

一个变换 \(\phi:\mathbb{RP}^2\to\mathbb{RP}^2\)是射影变换当且仅当其保直线、保交比．

证明

• \(\Rightarrow\)：
  • 保直线性显然．
  • 保交比：固定一个射影坐标即可．
• \(\Leftarrow\)：
  • 设 \(\phi\) 将 \(x=0\) 映为 \(l_1\)，将 \(y=0\) 映为 \(l_2\)，将\(z=0\) 映为 \(l_3\)，将 \(x+y+z=0\) 映为 \(l_4\)；
  • 由一般位置定理的直线形式：取射影变换 \(\phi_1\)将 \(x=0\) 映为 \(l_1\)，将 \(y=0\) 映为 \(l_2\)，将\(z=0\) 映为 \(l_3\)，将 \(x+y+z=0\) 映为 \(l_4\)；
  • 考虑映射：\(\psi=\phi_1^{-1}\circ\phi\)，则 \(\psi\) 保交比、直线，且将 \(x=0\)、\(y=0\)、\(z=0\)、\(x+y+z=0\) 映为自身；
  • 考虑这四根直线构成的完全四边形，该完全四边形的六个顶点为不动点；
  • 由保交比映射三点不动即恒等：在这四条直线上，该变换为恒等映射；
  • 因此平面上的所有直线与这四条直线的交点都不动，同上可知这些直线上变换都为恒等映射；
  • 因此该变换为恒等变换．即\(\phi_1=\phi\)，故\(\phi\)为射影变换．

古典射影几何小品

古典射影几何中的定理

Pappus定理、Pascal定理、Desargues定理、Brianchon定理．

古典射影几何的公理体系

定义：完全四点形

处于一般位置的四个点中，任意三点不共线，则称由这四个点及其两两连接形成的六条直线组成一个完全四点形．

• 顶点：这四个点
• 边：这六条直线
• 对边：无公共顶点的边
• 对边点：对边的交点

射影平面公理

1. 任意不同的两点根唯一一条直线关联．
2. 任意不同的两条直线跟至少一个点关联．
3. 存在四个点，其中任意三个不共线．
4. 法诺公理：完全四点形的三个对边点不共线．
5. 帕普斯公理：Pappus定理成立．即：若六边形的六个顶点交替出现在两条直线上，则三组对边的交点共线．

注：由公理1与公理2，立得任意不同的两条直线恰好与唯一一点关联．

古典射影几何的对偶性原理

对偶命题

在射影平面中，「点」与「直线」对偶：对于射影平面的定理，将其以下描述互换：

• 直线、点；
• 包含、属于；
• 连接、相交；
• 共线、共点；
• ……

则所得命题称为原命题的对偶命题．

对偶性原理

若一个定理可由射影平面公理推出，则其对偶定理也成立．

证明思路．验证以上五条公理组成体系可以推出其自身的五条对偶命题．

拓扑学科不普

没科普，略．