Turkevich不等式

设\(a,b,c,d\)是非负实数，则 \[ a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd\geqslant a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2. \] 取等条件为\(a=b=c=d\)或\(a=b=c\)，\(d=0\)及其轮换．

第二形式

\[ 3(a^4+b^4+c^4+d^4)+4abcd\geqslant (a^2+b^2+c^2+d^2)^2. \]

证明

不妨设\(\min\{a,b,c,d\}=d\)．考虑两种情况：

情形1．当\(d=0\)时，只需证明 \[ 3(a^4+b^4+c^4)\geqslant(a^2+b^2+c^2)^2 \] 这是显然的．

情形2．当\(d>0\)时，记\(f(a,b,c,d)=3(a^4+b^4+c^4+d^4)+4abcd-(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\)．我们证明 \[ f(a,b,c,d)\geqslant f(a-d,b-d,c-d,0). \] 注意到 \[ \begin{aligned} f(a,b,c,d)-f(a-d,b-d,c-d,0)&=2d\left(2\sum_{cyc}(a+b)(a-b)^2-d\left(2\sum_{cyc}(a-b)^2+\sum_{cyc}a^2-d^2\right)\right)\\&=2 d^4 - 2d^2 \left(2\sum_{cyc} (a - b)^2 + \sum_{cyc}a^2\right) + 4d\left( a b c + \sum_{cyc} (a + b) (a - b)^2\right)\\&=2dg(d) \end{aligned} \] 其中\(g(d)\)为与\(d\)有关的三次多项式， \[ g(d)=d^3-d\left(2\sum_{cyc}(a-b)^2+\sum_{cyc}a^2\right)+2\left( a b c + \sum_{cyc} (a + b) (a - b)^2\right). \] 注意到 \[ g'(d)=3d^2-\left(2\sum_{cyc}(a-b)^2+\sum_{cyc}a^2\right) \] 由\(0\leqslant d\leqslant \min\{a,b,c\}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\)，\(g'(0)\leqslant 0\)，\(g'\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)=-\dfrac{14}{3}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\leqslant 0\)，结合二次函数性质知\(g'(d)\leqslant 0\)．因此\(g(d)\)在\(\left[0,\dfrac{a+b+c}{3}\right]\)上单调递减，有 \[ g(d)\geqslant g\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right). \] 因为 \[ \begin{aligned} \dfrac{81}{8}g\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)&=16\sum_{cyc}a^4+12\sum_{cyc}a^2bc+\sum_{sym}a^3b-30\sum_{cyc}a^2b^2 \end{aligned} \] 由四次舒尔不等式 \[ \begin{aligned} 16\sum_{cyc}a^4+12\sum_{cyc}a^2bc+\sum_{sym}a^3b-30\sum_{cyc}a^2b^2&\geqslant 4\sum_{cyc}a^4+13\sum_{sym}a^3b-30\sum_{cyc}a^2b^2\\&=2\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2+13\sum_{cyc}ab(a-b)^2\\&\geqslant 0 \end{aligned} \] 故\(g(d)\geqslant g\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\geqslant 0\)．所以\(f(a,b,c,d)-f(a-d,b-d,c-d,0)=2dg(d)\geqslant 0\)，故由情形1 \[ f(a,b,c,d)\geqslant f(a-d,b-d,c-d,0)\geqslant 0. \] 综上，该不等式成立．\(\square\)

注

Turkevich不等式是下面的四元Suranyi不等式的弱化：

设\(a,b,c,d\)是非负实数，则 \[ 3(a^4+b^4+c^4+d^4)+4abcd\geqslant (a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) \] 取等条件为\(a=b=c=d\)或\(a=b=c\)，\(d=0\)及其轮换．

这个不等式更难以证明，夏夏一时未找到方法，以后再论（