平面几何｜平方和与重心圆
找到了新的⑨图，终于可以水文章啦（被打）
一 绪论
在学习三角形各心的性质时，大家一定都学过这个性质：
定理 在\(\triangle ABC\)中，使\(GA^2+GB^2+GC^2\)最小的点\(G\)为三角形的重心．
这是一个家喻互晓的定理了．证明也很简单，本质上就是调整法，这在几何不等式证明中十分常见．
但是，有没有更进一步的结论呢？例如，四边形\(ABCD\)中，满足\(PA^2+PB^2+PC^2+PD^2\)最小的点\(P\)是谁？对\(n\)边形呢？
经过一番探究，我们可以得到答案：这样的点即是该多边形的「重心」．事实上，这一结论隐藏着更深刻的背景．这即是题目中的 「重心圆」．
二 定义与基本引理
在开始前，我们先定义多边形的「重心」：
定义2.1 对于一个\(n\)边形\(P_1P_2\cdots P_n\)，称使\(\displaystyle \sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}=0\)的点\(O\)为该\(n\)边形的重心．
这样的点是存在且唯一的吗？事实上，这一点可由坐标法轻松证明．
关于重心，一个十分重要的性质如下：
引理2.1 对一个重心为\(G\)的\(n\)边形\(P_1P_2\cdots P_n\)，对平面上任一点\(O\)，都有\(\displaystyle\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}=n\cdot \overrightarrow{OG}\)．
证明 这是因为
\[ \sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}=\sum_{i=1}^n\left(\overrightarrow{GP_i}+\overrightarrow{OG}\right)=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{GP_i}+n\cdot \overrightarrow{OG}=n\cdot\overrightarrow{OG}.\quad\square \]
因此，由引理2.1，对任一点到多边形每一点的向量和，我们都可以用其到多边形重心的向量表示．
现在给出重心圆的正式定义：
定义2.2 称以多边形重心为圆心的圆为多边形的一个重心圆．
这个圆的定义看上去无厘头；但实际上，我们将借用这个圆，对多边形中的平方和问题进行讨论．
三 主要定理及其证明
我们将证明如下定理：
定理1 对\(n\)边形\(P_1P_2\cdots P_n\)及其一个重心圆\(\Gamma\)，对\(\Gamma\)上任一点，其到多边形各点距离的平方和为定值．
证明 我们先不考虑「重心圆」这一性质，直接来讨论该平方和．注意到对任一点\(O\)，
\[ \left(\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right)^2=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}^2+\sum_{1\leqslant i,\;j\leqslant n\atop i\neq j}\overrightarrow{OP_i}\cdot\overrightarrow{OP_j} \]
于是（结合引理2.1）
\[ \sum_{i=1}^nOP_i^2=n^2\cdot |OG|^2-\sum_{1\leqslant i,\;j\leqslant n\atop i\neq j}\overrightarrow{OP_i}\cdot\overrightarrow{OP_j} \]
我们只需讨论\(\displaystyle S=\sum_{1\leqslant i,\;j\leqslant n\atop i\neq j}\overrightarrow{OP_i}\cdot\overrightarrow{OP_j}\)即可．
注意到，由余弦定理，我们有（当\(i\neq j\)时）
\[ 2\overrightarrow{OP_i}\cdot\overrightarrow{OP_j}=2|OP_i||OP_j|\cos\angle P_iOP_j=OP_i^2+OP_j^2-P_iP_j^2 \]
所以
\[ \begin{aligned}S&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(OP_i^2+OP_j^2-P_iP_j^2\right)\\&=(n-1)\sum_{i=1}^n OP_i^2-\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}P_iP_j^2\end{aligned} \]
代回到原式即得
\[ \displaystyle n\sum_{i=1}^n OP_i^2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}P_iP_j^2+n^2\cdot OG^2 \] 从而\(\displaystyle \sum_{i=1}^n OP_i^2=\frac{1}{n}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}P_iP_j^2+n\cdot OG^2\)．
现在，由于\(O\)在重心圆上，故\(OG^2\)一定，即证． \(\square\)
四 应用
对这个定理，一个很重要的推论自然是平方和最小值的点啦．
推论4.1 使至多边形各顶点距离平方和最小的点为该多边形的重心．
这由上面推出的式子可立即证明．事实上，这个最小值为\(\dfrac{T}{n}\)，其中\(T\)为该多边形中所有边与对角线的平方和．
特别地，在圆内接四边形中，注意到第一Ptolemy定理及第二Ptolemy定理，联立可解出两对角线的长度，由此可以求其最小值．虽然应该大概不会出，但我在这里还是提及一下．
另外，有许多题目是以重心圆为其背景出的．例如这道题．从理论上看还是很好玩的．